等比数列求和公式推导,至少给出3种方法
有等比数列其前n项和可以看出,等比数列首项仅仅作为一个乘数,在之后的计算中可以省略,全部看作1.首先看一个例子,对一个的等比数列,有即前n项和为n个1.另外一个例子,对一个的等比数列,有观察可知,此时,猜想等比数列求和公式为但代入发现并不成立。由上述两个例子,不难发现,对等比数列,将其转化为q进制数后,有则即前n项和用q进制表示为n个1.将其转化为十进制即可。对q进制下的数10而言,而推广到n个1的情况,为100...00(n个0)-1=n个q-1 (这里实在不好组织语言)而n个q-1/q-1=n个1且即为100...00(n个0)故把上述过程转为十进制,即补上之前省略的,即为而教科书上的公式是.总的来讲,我这一个下午过的真是毫无意义啊。
等比数列求和公式
等比数列的求和公式:Sn=首项(1-公比的n次方)/1-公比(公比≠1)
等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公式可以快速的计算出该数列的和。
等比数列的推导方法
等比数列是一种数列,它的每一项等于前一项乘以一个固定的常数,这个常数叫做公比。等比数列的推导方法如下:
1. 已知首项和公比,求任意项
设等比数列的首项为a1,公比为q,第n项为an,那么有:
an=a1*q^(n-1)
2. 已知首项和末项,求公比
设等比数列的首项为a1,公比为q,末项为an,那么有:
an=a1*q^(n-1)
又因为等比数列的任意项等于前一项乘以公比,因此有:
an=a1*q^(n-1)=a1*q^(n-2)*q=...=a1*q^(n-k)*q^k=...=a1*q^0*q^(n-1)=a1*q^(n-1)
因此,a1*q^(n-1)=an,解得:
q=(an/a1)^(1/(n-1))
3. 已知公比和末项,求首项
设等比数列的首项为a1,公比为q,末项为an,那么有:
an=a1*q^(n-1)
又因为等比数列的任意项等于前一项乘以公比,因此有:
an=a1*q^(n-1)=a2*q^(n-2)=...=a(n-1)*q
将等式两边同时除以q,得到:
an/q=a1*q^(n-2)
即:
a1=an/q^(n-2)
4. 已知前两项,求公比和任意项
设等比数列的首项为a1,公比为q,第二项为a2,第n项为an,那么有:
a2=a1*q
an=a1*q^(n-1)
将a2代入an的式子中,得到:
an=a2*q^(n-2)
将a2代入a1*q^(n-2)中,得到:
a2=a1*q
解得:
q=a2/a1
然后代入an=a1*q^(n-1),解得任意项an。
以上就是等比数列的推导方法。
等比数列求和的三种方法
(1)乘q错位相减法
这是等比数列前n项和公式推导的方法,掌握它可以
知道等比数列前n项和公式由来
(2)公式法
知道了等比数列前n项和的公式后,可以直接用公式
一般数列求和方法:
(1)倒序相加法(等差数列求和公式的推导)
(2)乘q错位相减法(等比数列前n项和公式推导)
(3)公式法(知道是等差还是等比数列)
(4)裂相相消法(an=1/n(n+1))
(5)分组求和法(cn=an+bn,其中{an}是等差数列,{bn}是等比数列)
等比级数求和为多少
等比数列求和公式 (1) 等比数列:a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式:an=a1×q^(n-1); 推广式:an=am×q^(n-m); (3) 求和公式:Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比,n为项数) (4)性质: ①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am×an=ap×aq; ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am×an=aq^2 (5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G ≠ 0)". (6)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零. 注意:上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列求和公式推导: Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1*q^n Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) Sn=(a1-an*q)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)